2022 수능 예시문항

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• 21번 사인법칙 코사인법칙

21번

평가

난이도 : ★★☆☆☆ (2/5, 하)
다루는 개념 : 사인법칙 코사인법칙

"기본 개념을 적용할 줄 아는지 확인하는 문제"

문제

그림과 같이 한 평면 위에 있는 두 삼각형 $\triangle ABC$, $\triangle ACD$의 외심을 각각 $O$, $O'$이라 하고,
$\angle ABC=\alpha, \angle ADC = \beta$라 할 때,

$\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}=\frac{3}{2}, \cos(\alpha+\beta)=\frac{1}{3}, \overline{OO'}=1$

이 성립한다. $\triangle ABC$의 외접원의 넓이가 $\frac{q}{p}\pi$일 때, $p+q$의 값을 구하시오.

풀이

step1) 두 원의 반지름 비율 구하기

원$O$의 반지름을 $r$, $O'$의 반지름을 $r'$이라 하자.

$\triangle ABC$와 $\triangle ADC$ 에서 사인법칙에 의해,

$\frac{\overline{AC}}{\sin \alpha}=2r, \frac{\overline{AC}}{\sin \beta}=2r'$

이다.

따라서, $r\sin\alpha =r'\sin\beta$ 이므로,
${\color{#5D7FE8} {r:r'=3:2} }$이다. $(\because \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}=\frac{3}{2})$

step2) r값 구하기

$\triangle AOO'$에서, 코사인법칙에 의해,

$\overline{OO'}^2=\overline{OA}^2+\overline{O'A}^2-2\overline{OA}\cdot \overline{O'A}\cdot \cos\{\pi-(\alpha+\beta)\}$

$(1)^2=r^2+(r')^2-2rr'\cos\{\pi-(\alpha+\beta)\} (\because \overline{OO'}=1)$
$1=r^2+(\frac{2}{3}r)^2-2r(\frac{2}{3}r)(-\frac{1}{3}) (\because \cos (\alpha+\beta)=\frac{1}{3})$

$\therefore \frac{17}{9}r^2 = 1$이므로 $r^2=\frac{9}{17},$
원의 넓이 $S=\pi \cdot r^2 = \frac{9}{17} \pi$

정답

$\therefore p+q = 17+9 = 26$

사용한 개념

사인법칙

$\triangle ABC$의 외접원 $O$에 대하여,

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

가 성립한다.

코사인법칙

피타고라스 정리의 일반화라고도 볼 수 있는 코사인 법칙이다:
$\triangle ABC$에서,

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

$b^2=c^2+a^2-2ca\cos B$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

이다.

22번

평가

난이도 : ★★★☆☆ (3/5, 중)
다루는 개념 : 다항함수의 미분 함수의 개형

"사용된 개념은 단순하고 쉬우나, 적용은 까다로운 문제"

문제

함수 $f(x)=x^3-3px^2+q$가 다음 조건을 만족시키도록 하는 25 이하의 두 자연수 $p, q$의 모든 순서쌍 $(p, q)$의 개수를 구하시오.

(가) 함수 $\vert f(x) \vert$가 $x=a$에서 극대 또는 극소가 되도록 하는 모든 실수 $a$의 개수는 5이다.
(나) 닫힌구간 $[-1, 1]$에서 함수 $\vert f(x) \vert$의 최댓값과 닫힌구간 $[-2, 2]$에서 함수 $\vert f(x) \vert$의 최댓값은 같다.

풀이

step1) 조건 '가'를 해석해 $p$와 $q$의 관계 얻기

(left) 범위 a(빨간색)에 x축이 있어야 (right) $\vert f(x) \vert$가 극대 또는 극소를 5개 가진다.

$\frac{d}{dx} f(x)=3x^2 -6px=3x(x-2p)$ 이므로, 함수 $f(x)$는 $x=0, 2p$에서 극값을 가진다.
극값에서의 좌표는 $A(0,q), B(2p, -4p^3+q)$ 이므로,

$-4p^3+q \lt 0 \lt q$

이다. $(\because x$축: $y=0)$

$q$는 자연수이므로 $0 \lt q$는 항상 성립하고,
$-4p^3+q \lt 0$ 이므로, ${\color{#5D7FE8} {q \lt 4p^3} }$ 이다.

step2) $p$값에 따른 함수의 개형 해석.

$i)\ p=1$ ($\because p, q \in$ 자연수)

• 닫힌구간 $[-1, 1]$은 $[-p, p]$로 대응되고,
• 닫힌구간 $[-2, 2]$는 $[-2p, 2p]$로 대응된다.

$[-1, 1]$에서 $\vert f(x) \vert$의 최댓값은 $\vert f(-1) \vert = \vert f(-p) \vert = \vert -4p^3+q \vert$ 이고,
$[-2, 2]$에서 $\vert f(x) \vert$의 최댓값은 $\vert f(-2) \vert = \vert f(-2p) \vert = \vert -20p^3+q \vert$ 이다.

$\vert -4p^3+q \vert < \vert -20p^3+q \vert$ 이므로, 두 닫힌구간에서의 최댓값이 달라 조건 '나'를 만족하지 못한다.

---

$ii)\ p\ge 2$

가장 큰 닫힌구간 $[-2, 2]$도 $[-p, p]$ 안에 위치함에 유의하자.

① $[-1, 1]$에서 최댓값이 $\vert f(-1) \vert$면, $\vert f(-2) \vert \gt \vert f(-1) \vert$이므로, 조건 '나'를 만족하지 않는다.

② $[-1, 1]$에서의 최댓값이 $f(0)$ 이면, $[-2, 2]$에서의 최댓값도 $f(0)$ 일 때, 조건 '나'를 만족한다.

• $[-1, 1]$에서의 최댓값이 $f(0)$: $\vert f(0) \vert \ge \vert f(-1) \vert$
• $[-2, 2]$에서의 최댓값이 $f(0)$: $\vert f(0) \vert \ge \vert f(-2) \vert$

$\vert f(0) \vert \ge \vert f(-2) \vert$ 이면, $\vert f(0) \vert \ge \vert f(-1) \vert$ 이므로,

$f(0) \ge -f(-2)$

$q \ge 8+12-q$

$q \ge 4+6p$

step1에서의 결과와 종합하면, ${\color{#5D7FE8}{ 4+6p \le q \lt 4p^3 }}$

정답

$p=2,\ 16 \le q \lt 32$ 이므로, 10개 ($\because q \le 25$, 문제에서 줌.)
$p=3,\ 22 \le q \lt 4 \cdot 3^3$, 4개 (위와 같은 이유)
$p\ge 4,\ 28 \le q$, 불가능

따라서, 자연수 $p, q$의 순서쌍 $(p, q)$는 총 14개 가능하다.

29번

평가

난이도 : ★★★★☆ (4/5, 상)
다루는 개념 : 적분으로 정의된 함수 적분으로 정의된 함수의 미분 치환적분

"함수의 개형을 그리고, 순서에 맞게 '해석'하면 이해되는 문제"

문제

함수 $f(x)=e^x +x-1$ 과 양수 $t$에 대하여, 함수 $F(x)=\int_{0}^{x} \{t-f(s)\}ds$가 $x=\alpha$에서 최댓값을 가질 때, 실수 $\alpha$의 값을 $g(t)$라 하자. 미분가능한 함수 $g(t)$에 대해서, $\int_{f(1)}^{f(5)} \frac{g(t)}{1+e^{g(t)}} dt$는 얼마인가?

풀이

step1) 함수 $f(x)$와 $F(x)$ 사이의 관계 및 $f(x)$ 설명

$F(x) = \int_{0}^{x} \{t-f(s)\}ds$

$\therefore \frac{d}{dx} F(x) = t-f(x)$

이고 (두 함수의 관계),

$f(x)=e^x+x-1,$

$\frac{d}{dx} f(x)=e^x+1 \gt 0$

이므로, 함수 $f(x)$는 $(0,0)$을 지나는 단조증가 함수이다.

step2) 함수 $f(x)$의 개형을 통한 $F(x)$의 개형 그리기

함수 f(x)의 개형 그리기

범위	방법
$x\ge 0$	$(0,0)$을 지나고, $e^x$의 증가율이 어마무시하게 크므로 지수함수적으로 증가하는 함수를 그린다.
$x\lt 0$	$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}{e^x}=0$이므로, $x-1$을 점근선으로 하는 곡선을 그린다.

함수 $f(x)$의 개형을 토대로, $F(x)$의 개형을 그리자.

$F(x) = \int_{0}^{x} \{t-f(s)\}ds$이므로, $y=t$인 임의의 직선과 $f(x)$의 차에 대한 적분값이다.
따라서, $f(x)\lt t$에서 증가하고, 교점에서 최댓값, $f(x)\gt t$에서 감소하는 곡선이 그려진다.

$y=t$와 $y=f(x)$의 교점에서 $F(x)$의 최댓값이 결정되므로,
실수 $\alpha$에 대해 $f(\alpha)=t$ 이다. 따라서,

$f(\alpha)=t,$

$\alpha=g(t)=f^{-1}(t)$

함수 $g(x)$는 $f(x)$의 역함수다.

정답

치환적분을 통해 답을 구한다.

$\therefore \int_{f(1)}^{f(5)} \frac{g(t)}{1+e^{g(t)}} dt$

$g(t)=k$라 두면, $t=f(k), dt=f'(k)dk$ 이고,
$t: f(1)$에서 $f(5)$까지 변화할 때, $k:1$에서 $5$로 간다.

$= \int_{1}^{5} \frac{k}{1+e^k}f'(k)dk$

$f'(k)=e^k+1$ 이므로 약분되어,

$= \int_{1}^{5} \frac{k}{1+e^k}(e^k+1)dk {\color{#5D7FE8}{\ = \int_{1}^{5} k dk = 12}}$

사용한 개념

적분으로 정의된 함수

적분으로 정의된 함수는, 적분범위에 따라 해석방향이 달라진다.

• 적분범위가 상수이면, 적분값도 상수임에 주의한다.
• 적분범위가 미지수이면, 적분값도 미지수임에 주의한다.

적분으로 정의된 함수의 미분

$F(x)$가 $f(x)$의 부정적분 중 하나라고 하면,

$\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b)-F(a)$

이다.
$F(a), F(b)$ 모두 상수이므로, 이를 미분할 경우 $0$이 됨에 주의하자.

따라서, 적분범위에 미지수가 포함된

$g(x)=\int_{a}^{x} f(x)dx = F(x)-F(a)$

와 같은 경우에 대해서만

$g'(x) = \{F(x)-F(a)\}' = f(x)-0 = f(x)$

일 수 있다.

치환적분

$\int f(g(x))g'(x)dx$

와 같은 꼴에 대해서, $g(x)=t$라고 치환하면,
$g'(x)dx=dt$이므로,

$\int f(t)dt$

로 계산할 수 있다.

만약 정적분인 경우, 적분변수가 $x$에서 $t$ 로 바뀜에 따라, 대응되는 값을 넣어주면 된다.

예를 들어,
$x$에 대해 $a \rightarrow b$ 범위를 적분했다면
$t=g(x)$에 대해 $g(a) \rightarrow g(b)$의 범위에서 적분하면 되는 것이다.

30번(작성중)

평가

난이도 : ★★★★☆ (4/5, 상)
다루는 개념 : lnx/x 꼴 함수의 개형 좌극한과 우극한

"주어진 조건들의 해석이 전부인 문제"

문제

두 양수 $a, b (b<1)$에 대해 함수 $f(x)$를

$f(x)=\left\{\begin{matrix} -x^2 + ax (x\leq 0) \\ \frac{ln(x+b)}{x} (x>0) \end{matrix}\right.$

라고 하자.
양수 $m$에 대하여, 직선 $y=mx$와 함수 $y+f(x)$의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 갯수를 $g(m)$이라고 할 때, 함수 $g(m)$은 다음을 만족한다:

$\lim\limits_{m\rightarrow\alpha -}g(m)-\lim\limits_{m\rightarrow\alpha +}g(m)= 1$ 을 만족시키는 양수 $\alpha$가 오직 하나 존재하고, 이 $\alpha$에 대해 점 $(b, f(b))$는 직선 $y=ax$와 곡선 $f(x)$의 교점이다.

이 때, $ab^2 = \frac{q}{p}$라 하면, $p+q$는 얼마인가?

풀이

정답

사용한 개념